La rue est d'abord connue sous le nom de rue Bourget avant d'apparaître sous sa dénomination actuelle dans l'Indicateur des rues de Montréal de 1876.Bien qu'aucun document ne justifie le choix de ce nom, il est possible que la rue ait été nommée en l’honneur de monseigneur Jacques-Janvier Vinet (1806-1890), qui a accompagné Ignace Bourget (1799-1885), deuxième évêque de Montréal, lors d’un voyage à Rome en 1862. Le changement de dénomination de « rue Bourget » à « rue Vinet » pourrait ainsi s’expliquer.Jacques-Janvier Vinet est né à Longue-Pointe (Montréal), le 1er janvier 1806. Il est le fils d'Hyppolite Vinet et de Marie Beaudry. Ordonné prêtre en 1828, il est d'abord vicaire de la paroisse de Saint-Jacques-de-l'Achigan (Saint-Jacques) et à Longueuil. Il devient curé de la paroisse de Saint-Valentin en 1831, de Rigaud en 1834, puis du Sault-au-Récollet en 1847. Vinet accompagne l'évêque de Montréal, Mgr Ignace Bourget, lors d'un voyage à Rome en 1862. Il se retire au Sault-au-Récollet en 1870. Il est décédé au Sault-au-Récollet, le 2 mai 1890.